前言

大家伙我是Fly哥最近业务也比较忙，有很多粉丝后台私信我问题，我没法一一解答，有一个同学问了我这个问题，如图：

视频的话时间太长， 直接看文章吧，大家有啥问题的，都可以在知识星球提问就好了，我有时间就会解答。 大家一起进步，能把别人讲懂的才是对这个知识点真的理解了。 我这里都是免费的，不收钱的。这是今年新开的一个系列，粉丝解答系列文章。 觉得不错的可以点个赞。可能你存在的问题，别人也会有，不如详细的解决这个问题，也是节约时间，下次有人问同样的问题，可以直接看文档就好了，增加沟通效率， 最近想内推的可以私信我。

在直观上的认知里，表达一个三维空间的坐标用 x, y, z 就足够了，那在三维空间里进行矩阵变换，用 3x3 的矩阵就够了，为什么需要 4x4 呢？ 为了回答这个问题，下面我们先在几何意义上理解 向量和矩阵 之间的关系，然后通过 推导旋转矩阵 和 平移矩阵，一步步来解开这个疑惑。

向量和矩阵

在几何平面上，我们可以把平面上任意一点，当作与原点组成的一个 向量 来理解。

如图 ，A 点可以表示成向量 ；在 x 轴和 y 轴上各有 i 点（1， 0）和 j 点（0，1），同样的，让它们与原点组成向量，为了简化，我们用 和 表示这两个向量。

推导旋转矩阵

我们现在把整个坐标轴绕原点逆时针旋转 ：

结合图形和计算，我们可以这样理解这个二维矩阵：二维矩阵代表一个坐标系里的两个基向量，而在这个坐标系里的点与原点组成的向量，都可以用这两个基向量的变换来表示。那么旋转一个点，可以转换成旋转这个点所在的坐标系，从而通过变化的基向量求出旋转后的点的位置。

其实这种变换在数学上称作 线性变换 ，线性变换是通过 矩阵乘法 来实现

线性变换：是在两个**向量空间 (opens new window)**（包括由函数构成的抽象的向量空间）之间的一种保持向量加法和标量乘法 (opens new window)的特殊映射

线性变换在几何直观上有如下特点： - 变换前后，直线仍然保持是直线的状态 - 变换前后，原点保持固定，不会变化

推导平移矩阵

那么平移操作，能不能也用这种矩阵与向量相乘的形式呢？我们再次回到二维平面，看看将 A 点平移到 B 点的情况是怎样的。

我们可以通过向量加法的 平行四边形法则 加深理解，如下图：

对于平移这种操作，我们无法仅仅通过矩阵乘法来实现。

而实际上，平移这种操作属于 仿射变换 。

仿射变换，又称仿射映射，是指在几何中，对一个向量空间进行一次**线性变换 (opens new window)**并接上一个平移，变换为另一个向量空间。

仿射变换在几何直观上，相比线性变换，它不需要保证变换前后坐标原点不变。

如下图，从 A 点平移到 B 点，我们换一个角度思考，这次不移动点，而是移动整个坐标轴，同样可以达到平移 A 点到 B 点的需求，但是坐标原点移动到了 O' 点（1，3）。

我们希望构造的是像下面这种矩阵乘法的等式，这样才能用一个通用的计算模式来处理坐标点的变换。

到这里，我们终于要请出 齐次坐标 了。

齐次坐标就是将一个原本是 n 维的向量用一个 n+1 维向量来表示，是指一个用于投影几何里的坐标系统，如同用于欧氏几何 (opens new window)里的笛卡儿坐标一般。

用一个通俗的讲法是，我们需要 升维 来处理这个问题。

通过增加一个维度，我们可以在高维度上，通过线性变换来处理低维度的仿射变换。

总结

至此，我们可以回答最开始的问题了，为什么矩阵变换是 4x4 的矩阵呢？

我们来想象这样一个场景：如果我要让顶点坐标 (opens new window)旋转一定角度后，再平移一段距离，那么这里面的操作就涉及 3x3 矩阵的计算和 4x4 矩阵的计算，如果不统一起来，这种连续变换的计算操作将很复杂。

所以如果要用矩阵乘法来统一所有的平移、旋转等等变换计算，为了照顾到平移这类仿射变换，统一用 4x4 矩阵来计算既能满足场景又方便计算。